Ausführliche Erläuterungen zu den richtigen Antworten beim Mathequiz

Frage 1:
Der Zahlensack von Méziriac In seinem im 17. Jahrhundert erschienenen Buch „Amüsante und köstliche Rätsel, die sich aus Zahlen ergeben“ präsentierte Bachet de Méziriac das folgende Spiel: Zwei Spieler sitzen einander gegenüber. Die erste Person nennt eine Zahl zwischen 1 und 10. Danach denkt sich die zweite Person eine Zahl zwischen 1 und 10, addiert sie zur eben genannten und sagt die Summe. Sodann addiert die erste Person dazu wieder eine Zahl zwischen 1 und 10 und nennt die so entstandene Summe. Dies geht abwechselnd so weiter, bis eine der beiden Personen eine größere Zahl als 100 rufen kann. Wer mehr als 100 zu nennen vermag, hat das Spiel gewonnen. Frage: Wie geht ein Falschspieler vor, wenn er bei diesem Spiel den Gegner übers Ohr haut?

Richtige Antwort: b. Er versucht, eine der Zahlen 2, 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79 oder 90 zu nennen. Sobald ihm dies gelungen ist, geht er in Elferschritten voran.

Begründung: Er muss dafür sorgen, dass der Gegner im letzten Durchgang mindestens 91 und höchstens 100 sagt. Das gelingt ihm, wenn er „90“ sagen kann. Dies ist ihm dann möglich, wenn der Gegner im vorletzten Durchgang mindestens 80 und höchstens 89 sagt. Das gelingt ihm, wenn er „79“ sagen kann. Auf diese Weise denkt der Falschspieler die Durchgänge des Spiels zurück und gelangt zur Erkenntnis: Sobald er eine der Zahlen 2, 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79, 90 sagen kann, hat er mit Sicherheit gewonnen. Denn ab dieser Zahl ist es ihm möglich, die nachfolgenden größeren Zahlen der Folge zu nennen und so seinen Gegner nach der Nennung von 90 schließlich zu zwingen, ihm mit mindestens 91 und höchstens 100 zu antworten. Hierauf repliziert der Falschspieler mit „101“ (oder, falls der Gegner mit mehr als 91 geantwortet hat, mit einer noch größeren Zahl).

Frage 2:
Oft ist „gut gemeint“ das Gegenteil von „gut“. Ob es sich um die Anbahnung einer Geschäftsbeziehung, um das Herstellen eines Produktes oder um irgendeine andere Verwirklichung einer Idee handelt stets kann man dies abstrakt als einen „Weg“ beschreiben, den man vom Ausgangspunkt A zum Ziel Z zurückzulegen hat. Es sei nun die folgende Situation gegeben: Zwei Spieler, sie heißen Johnny und Oskar, wollen von A nach Z gelangen. Zwei Möglichkeiten stehen ihnen dabei offen: Sie können von A über X nach Z gelangen oder aber von A über Y nach Z gelangen. Der Weg von A nach X kostet zwei Dukaten und der Weg von X nach Z kostet fünf Dukaten. Der Weg von A nach Y kostet fünf Dukaten und der Weg von Y nach Z kostet zwei Dukaten. Allerdings – und dies ist der Haken der Geschichte – verdoppeln sich die Wegpreise für jeden einzelnen, wenn sie die Wege zu zweit beschreiten. Doch gottlob müssen sie dies nicht: Johnny schreitet von A aus über X nach Z und zahlt dafür sieben Dukaten, Oskar schreitet von A aus über Y nach Z und zahlt ebenfalls dafür sieben Dukaten. So weit, so gut. Nun aber wird von einer Fee, die es gut mit den beiden meint, den Spielern die Möglichkeit eröffnet direkt von X nach Y gelangen zu können, ohne dafür einen Groschen zahlen zu müssen. Begeistert ergreift Johnny diese Möglichkeit, während sich der misstrauische Oskar an seine übliche Route hält. Und tatsächlich ist dies für Johnny vorteilhaft: Er zahlt zwei Dukaten für den Weg von A nach X, nichts für den Weg von X nach Y und – da er diesen Weg mit Oskar zu teilen hat – vier Dukaten für den Weg von Y zum Ziel Z. Insgesamt sechs Dukaten, um einen Dukaten weniger als zuvor. Oskar hingegen ärgert sich, denn jetzt kommen für ihn zu den fünf Dukaten für den Weg von A nach Y nun – weil Johnny mit ihm den Weg teilt – vier Dukaten für den Weg von Y nach Z hinzu, insgesamt neun Dukaten, um zwei Dukaten mehr als zuvor.Frage: Was werden Oskar und Johnny schließlich tun?

Richtige Antwort: c. Beide, Oskar und Johnny, wählen – zu ihrer beider Nachteil! – die neue Route mit dem nun gratis zur Verfügung stehenden Weg von X nach Y.

Begründung: Sicher wird sich nun auch Oskar dazu entschließen, den nun gratis zur Verfügung stehenden Weg von X nach Y zu beschreiten. Doch Johnny wird nicht mehr zu seiner alten Route zurückkehren, denn er weiß, dass sich Oskar für den Weg von A über X und Y nach Z entschließen wird, und das würde Johnny auf seiner alten Route neun Dukaten kosten. Also marschieren sie schließlich beide zusammen entlang des neuen Weges von A nach X – Kostenpunkt für jeden: vier Dukaten – von X nach Y und von Y nach Z – was weitere vier Dukaten Kosten bedeutet. Beide zahlen folglich je acht Dukaten, um je einen Dukaten mehr als zu Beginn. Aber nichts kann sie dazu veranlassen, die Gratisroute von X nach Y nicht mehr zu beschreiten. Sie stecken im Dilemma eines sogenannten Nash-Gleichgewichts fest. Die Fee hat es gut gemeint, aber gar nicht gut gemacht. (Dieses Paradoxon, das tatsächlich in der Verkehrsplanung eine wichtige Rolle spielt und eine Variante des Gefangenendilemmas darstellt, wurde 1968 vom Mathematiker Dietrich Braess erfunden.)

Frage 3:
Weg aus dem Dilemma Zwei Spielern wird eine Investition in eine Firma vorgeschlagen: Sie können einzeln entscheiden, ob sie investieren oder nicht. Investieren beide Spieler, gewinnt jeder von ihnen zwei Dukaten. Investiert nur einer der Spieler, während der andere die Investition verweigert, bedeutet dies für den investierenden Spieler einen Verlust von einem Dukaten (die einzelne Investition war zu gering, um der Firma einen Gewinn zu verschaffen, und sie rasselt in die Pleite). Wohingegen der andere Spieler, der mit seiner Verweigerung gegen die Firma wettete, vier Dukaten einheimst. Verweigern schließlich beide Spieler die Investition, gibt es für die Spieler weder Gewinn noch Verlust. Dies ist die klassische Situation des Gefangenendilemmas: Obwohl ein gemeinsames Investieren der Spieler beiden einen Gewinn von je zwei Dukaten verheißt, werden beide die Investition ablehnen, weil es für jeden der Spieler – unabhängig davon, wie sich der andere Spieler entscheidet – immer besser ist, nicht zu investieren.Frage: Können die beiden Spieler dem Gefangenendilemma entkommen, wenn der Verweigerer der Investition unter der Voraussetzung, dass der andere Spieler investiert und dabei einen Verlust von einem Dukaten verschmerzen muss, statt vier sogar sieben Dukaten erhält?

Richtige Antwort: a. Ja, es gibt eine Vereinbarungsmöglichkeit der beiden Spieler, die nicht so fragil ist wie jene, dass beide investieren, und sie können mit einem Gewinn von je drei Dukaten dem Gefangenendilemma entkommen.

Begründung: Die beiden Spieler vereinbaren, dass der erste investieren und der zweite die Investition ablehnen soll. Von den sieben Dukaten, die danach der zweite Spieler erhält, gibt er vier Dukaten dem ersten Spieler. So gewinnen die Spieler mit dieser Strategie je drei Dukaten – mehr als wenn sie beide investieren würden.

Frage 4:
lechts und rinks kann man nicht velwechsern. werch ein illtum! Eine hundert Meter lange Strandpromenade verläuft schnurgerade von West nach Ost (auf der nach Norden ausgerichteten Karte: von links nach rechts). Vor ihr erstreckt sich der überall zwanzig Meter breite Strand, der am linken und am rechten Ende der Strandpromenade von Felsen begrenzt wird. 25 Meter rechts vom linken Ende der Promenade und 25 Meter links vom rechten Ende der Promenade sind die Stände von zwei Eisverkäufern, die in dem Sinn optimal aufgestellt sind, als sie sich die am Strand gleichmäßig verteilten Badenden jeweils zur Hälfte als potentielle Kunden sichern. Eines Tages überlegt der linke Eisverkäufer: „Bewege ich meinen Stand um ein paar Meter nach rechts, gewinne ich ein paar Kunden mehr: Die auf der linken Hälfte des Strandes bleiben mir ohnehin erhalten, und einige auf der rechten Hälfte gewinne ich hinzu.“ Tags darauf sieht der rechte Eisverkäufer den Standortwechsel seines linken Kollegen und spürt zugleich einen Rückgang des Umsatzes.Frage: Wie wird der rechte Eisverkäufer darauf reagieren, was wird danach der linke Eisverkäufer tun, wo werden schlussendlich die beiden Stände landen?

Richtige Antwort: b. Der rechte Eisverkäufer wird nun ebenfalls um ein paar Meter nach links rücken, der linke Eisverkäufer noch einmal ein Stück nach rechts, und dies setzt sich so lange fort, bis die beiden Eisverkäufer einander in der Mitte der Strandpromenade treffen.

Begründung: Der rechte Eisverkäufer wird seinen Stand um ein paar Meter nach links verlegen, weil er gegen den drohenden Verlust seiner links befindlichen potentiellen Kunden ankämpft. Hierauf werden der linke Eisverkäufer wieder weiter nach rechts und danach der rechte Eisverkäufer wieder weiter nach links driften, denn der linke Eisverkäufer wähnt sich der Kundschaft auf seiner linken Seite genauso sicher wie der rechte Eisverkäufer seiner Kundschaft auf seiner rechten Seite. Schließlich werden deren Stände einander in der Mitte der Strandpromenade treffen. Dies ist letztlich für beide von Nachteil, weil die potentiellen Kunden, die am ganz linken und am ganz rechten Rand des Strandes lagern, wegen des nun fast doppelt so langen Weges im Vergleich zu früher nicht mehr bis zum Eisstand kommen werden. (Das Paradoxon, ein Vorläufer des Gefangenendilemmas, wurde bereits 1929 vom amerikanischen Ökonomen Harold Hotelling entdeckt. Die Ortsbezeichnungen „links“ und „rechts“ kann man ohne weiteres ins Politische übertragen: In einem Staat mit einem ausgeprägten Zweiparteiensystem werden sowohl die links wie auch die rechts stehende Partei versuchen, zur Mitte zu rücken, um die potentiellen Wähler der anderen Partei zu fischen: Die links stehende Partei wird eine Person ihres rechten Flügels zum Spitzenkandidaten küren und die rechts stehende Partei umgekehrt eine Person ihres linken Flügels. Auf diese Weise nähern sich die Parteien immer mehr an und geraten in Gefahr, verwechselbar zu werden.)

Übrigens: “lechts und rinks kann man nicht velwechsern. werch ein illtum!” ist das Gedicht „lichtung“ des österreichischen Poeten Ernst Jandl, erschienen 1966 in dessen Gedichtband „Laut und Luise“.

Frage 5:
Das Ziegenproblem andersherum Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Türen. Hinter zwei Türen ist jeweils ein Auto, der ersehnte Gewinn, und hinter einer Tür hockt eine Ziege. Sie wählen eine Tür, sagen wir Tür Nummer zwei. Der Showmaster, der weiß, was hinter den Türen ist, öffnet eine andere Tür, sagen wir Nummer drei, hinter der sich ein Auto befindet. Er fragt Sie nun: „Möchten Sie die Tür Nummer eins?“Frage: Ist es von Vorteil zu wechseln?

Richtige Antwort: b. Nein, in diesem Fall ist es besser, auf seiner ersten Wahl zu beharren.

*Begründung:*Nein, in diesem Fall ist es besser, auf seiner ersten Wahl zu beharren. Denn die Wahrscheinlichkeit, dass sich hinter der Tür Nummer zwei ein Auto verbirgt, beträgt zwei zu drei. Dementsprechend ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich hinter der Tür Nummer zwei nicht das Auto, sondern die Ziege verbirgt und das (nun, nach dem Öffnen von Tür Nummer drei) zweite Auto hinter der Tür Nummer eins lauert, nur eins zu drei. Bei zwei Autos und einer Ziege ist vom Wechseln abzuraten.


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